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作者簡介：高慶豐（1979-），男，內蒙古呼和浩特人，助工，碩士，主要從事導彈總體技術研究。
通信地址：100854北京142信箱30分箱
高慶豐1，劉莉2，陳羅婧2
（1．中國航天科工集團公司 二院二部，北京100854；2.北京理工大學 飛行器工程系，北京100081）
摘要：在彈體坐標系和準彈體坐標系中建立了旋轉飛行器角運動數學模型。應用李亞普諾夫第一近似理論和勞斯-霍爾維茨方法導出了旋轉飛行器的非線性運動穩定性判據，這個判據可應用于有控旋轉導彈的運動穩定性分析，也可應用到炮彈和火箭彈上。
關鍵詞：旋轉飛行器；非線性；穩定性
中圖分類號：V412；TJ415；O242.2 TJ7611＋3;文獻標識碼：A文章編號：1009086X（2006）01001905
Criteria for the nonlinear dynamic stability of rotative vehicles
GAO Qingfeng1，LIU Li2，CHEN Luojing2
（1．The Second System Design Department of the Second Research Academy of CASIC，Beijing 100854，China;
2．Beijing Institute of Technology，Department of Flight Vehicle Engineering，Beijing 100081，China）
Abstract:The angular motion mathematical model of rotative vehicles is established in the body coordinate system and the quasibody coordinate system.Criteria for the nonlinear dynamic stability of rotative vehicles are derived by the Liapunov′s first method and the RouthHurwitz stability criterion,this criteria can be applied to the dynamic stability analysis of controlled rotative missiles,projectiles and rockets.
Key words:Rotative vehicle；Nonlinear；Stability
1引言
旋轉飛行器是指在飛行過程中，繞其縱軸自旋的一類飛行器，通常包括小型防空導彈、反坦克導彈、炮彈和火箭彈等。
反坦克導彈有無控的起始飛行段，對這類導彈進行設計時，要對其彈體的動態特性提出穩定性要求。如果用經典的方法設計制導系統，也往往首先要研究彈體穩定性問題。而對于炮彈和火箭彈，運動穩定性更是首要的［1］。
2符號說明
a1，b1為與升力和側向力有關的動力系數；a2，b2為與馬格努斯力有關的動力系數；a3，b3為與俯仰力矩和偏航力矩有關的動力系數；a4，b4為與馬格努斯力矩有關的動力系數；a5，b5為與阻尼力矩有關的動力系數；a6，b6為與轉速有關的動力系數；α，β為彈體坐標系中的攻角和側滑角；αf，βf準彈體坐標系中的攻角和側滑角；ωz1，ωy1為彈體坐標系中的俯仰和偏航角速度；ωzf，ωyf為準彈體坐標系中的俯仰和偏航角速度；P0為發動機推力；q為動壓；S為參考面積；L為參考長度；m為質量；v為速度；ωx為彈體繞縱軸的旋轉角速度；ξ~為復攻角；cαy，cα3y為線性和立方升力系數導數；cαz，cα3z為線性和立方側向力系數導數；cβy，cβz為氣動交叉力系數導數；mαz，mα3z為線性和立方俯仰力矩系數導數；mβy，mβ3y為線性和立方偏航力矩系數導數；mαy，mβz為馬格努斯力矩系數導數；mωzz，mωyy為俯仰阻尼和偏航阻尼力矩系數；Jx，Jy，Jz為相對彈體坐標系各軸的轉動慣量；t為時間；s為彈道弧長；σ為穩定性系數。
3旋轉飛行器角運動數學模型
有一類小型防空導彈，彈體在飛行中以一定的角速度繞自身縱軸旋轉，采用單通道控制，由一對舵面同時控制導彈的俯仰運動和偏航運動，因此其氣動外形是面對稱的。
為了便于討論，建立與彈體固聯的彈體坐標系Ox1y1z1和不隨彈體旋轉的準彈體坐標系Oxfyf zf，它們都以彈體質心為坐標原點，彈體坐標系Ox1軸與彈體縱軸重合，向前為正，Oy1軸垂直于Ox1軸及舵軸。Oz1軸與Ox1軸和Oy1軸形成右手系。準彈體坐標系Oxf軸與Ox1軸重合，Oyf 軸垂直于Oxf 軸指向上，Ozf 軸與Oxf 軸和Oyf軸形成右手系。
現代防御技術·導彈技術高慶豐，劉莉，陳羅婧：旋轉飛行器非線性運動穩定性判據現代防御技術2006年第34卷第1期忽略重力的影響，以彈體坐標系表征的自由運動中力和力矩的平衡方程分別為［2］α·
β·＋a1〖〗a2＋ωx
－（b2＋ωx）〖〗b1α
β－ωz1
ωy1＝0，（1）
ω·z1
ω·y1＝a3〖〗a4
－b4〖〗b3α
β＋
ωx－a6〖〗a5
b5〖〗－（b6－ωx）ωy1
ωz1，（2）式（1）和式（2）中：a1＝［P0＋qS（cαy＋cα3yα2）］/mv， b1＝［P0－qS（cαz＋cα3zα2）］/mv，
a2＝qScβz/mv， b2＝qScβy/mv，
a3＝qSL(mαz＋mα3z)/Jz, b3＝qSL（mβy＋mβ3y）/Jy，
a4＝qSLmαy/Jz， b4＝qSLmβz/Jy，
a5＝qSL2mωzz/Jzv， b5＝qSL2mωyy/Jyv，
a6＝（Jx/Jz）ωx， b6＝（Jx/Jy）ωx 通過坐標變換，以準彈體坐標系表征的自由運動中力和力矩的平衡方程分別為［2］ω·yf
ω·zf＋－（a5＋b5）〖〗2＋（a6－b6）〖〗2sin（2ωxt）＋（a5－b5）〖〗2cos（2ωxt）〖〗（a6＋b6）〖〗2＋（a5－b5）〖〗2sin（2ωxt）－（a6－b6）〖〗2cos（2ωxt）
－（a6＋b6）〖〗2＋（a5－b5）〖〗2sin（2ωxt）＋（a6－b6）〖〗2cos（2ωxt）〖〗－（a5＋b5）〖〗2＋（b6－a6）〖〗2sin（2ωxt）＋（a5－b5）〖〗2cos（2ωxt）
ωyf
ωzf＋（a4＋b4）〖〗2＋（a3－b3）〖〗2sin（2ωxt）－（a4－b4）〖〗2cos（2ωxt）〖〗－（a3＋b3）〖〗2－（b3－a3）〖〗2cos（2ωxt）
－（a3＋b3）〖〗2－（a3－b3）〖〗2cos（2ωxt）〖〗－（a4＋b4）〖〗2＋（a3－b3）〖〗2sin（2ωxt）－（a4－b4）〖〗2cos（2ωxt）αf
βf＝0，（3）
α·f
β·f＋（a1＋b1）〖〗2－（b1－a1）〖〗2cos（ωxt）〖〗（a2＋b2）〖〗2＋（b1－a1）〖〗2sin（2ωxt）＋（a2－b2）〖〗2cos（2ωxt）
－（a2＋b2）〖〗2＋（b1－a1）〖〗2sin（2ωxt）－（a2－b2）〖〗2cos（2ωxt）〖〗（a1＋b1）〖〗2－（b1－a1）〖〗2cos（ωxt）·
αf
βf＋0-1
-10ωyf
ωzf＝0 （4）對于面對稱導彈，由于a1≠b1，a2≠b2，a3≠b3，a4≠b4，a5≠b5，a6≠b6，因而含有sin（2ωxt）和cos（2ωxt）項的系數不為0，角頻率為2ωx的擺動將不可避免的存在，考慮到擺動的幅值不大，且在彈體旋轉一周所產生的平均效應為0。因此，當彈體旋轉頻率遠大于彈體擾動運動頻率時，完全可把含sin（2ωxt）和cos（2ωxt）的項略去不計［2］。所以，式（3）可變為式（5），式（4）可變為式（6）。ω·yf
ω·zf＝a5＋b5〖〗2〖〗－（a6＋b6）〖〗2
a6＋b6〖〗2〖〗a5＋b5〖〗2ωyf
ωzf＋－（a4＋b4）〖〗2〖〗a3＋b3〖〗2
a3＋b3〖〗2〖〗－（a4＋b4）〖〗2αf
βf，（5）
α·f
β·f＋a1＋b1〖〗2〖〗a2＋b2〖〗2
－（a2＋b2）〖〗2〖〗a1+b1〖〗2αf
βf＋0〖〗-1
-1〖〗0ωyf
ωzf＝0 （6）對式（6）求導，可得ω·yf
ω·zf＝β¨f
α¨f＋－（a2＋b2）〖〗2〖〗a1＋b1〖〗2
a1＋b1〖〗2〖〗a2＋b2〖〗2α·f
β·f,（7）令式（5）和式（7）右端相等，同時代入式（6）可得α¨f＋（a1＋b1）－（a5＋b5）〖〗2α·f－（a3＋b3）〖〗2＋（a1＋b1）（a5＋b5）〖〗4－（a2＋b2）（a6＋b6）〖〗4αf－
－（a2＋b2）＋（a6＋b6）〖〗2β·f－（a4＋b4）〖〗2＋（a1＋b1）（a6＋b6）〖〗4＋（a2＋b2）（a5＋b5）〖〗4βf＝0,（8）
β¨f＋（a1＋b1）－（a5＋b5）〖〗2β·f－（a3＋b3）〖〗2＋（a1＋b1）（a5＋b5）〖〗4－（a2＋b2）（a6＋b6）〖〗4βf+
－（a2＋b2）＋（a6＋b6）〖〗2α·f＋（a4＋b4）〖〗2＋（a1＋b1）（a6＋b6）〖〗4＋（a2＋b2）（a5＋b5）〖〗4αf＝0 （9）將式（8）乘以虛數i再與式（9）相加，可得復數表達式ξ~¨＋（A－iB）ξ~·－（C＋iD）ξ~＝0,（10）式（10）中，定義A＝［（a1＋b1）－（a5＋b5）］/2,
B＝［－（a2＋b2）＋（a6＋b6）］/2,
C＝（a3＋b3）/2＋（a1＋b1）（a5＋b5）/4－（a2＋b2）（a6＋b6）/4,
D＝（a4＋b4）/2＋（a1＋b1）（a6＋b6）/4＋（a2＋b2）（a5＋b5）/4,
ξ~＝βf＋iαf 式（10）為復攻角在t域的微分方程。
由于式（10）的系數與速度有關，這是一變系數微分方程，為使t域角運動微分方程系數的時變性減弱，對式(10)進行數學變換，有［3］df（x）〖〗dt＝df（x）〖〗dsds〖〗dt＝vdf（x）〖〗ds，
df（x）2〖〗d2t＝v2df（x）2〖〗d2s＋v·df（x）〖〗ds （11）應用式（11），將式（10）變為ξ~″＋［（v·/v＋A－iB）/v］ξ~′－
（1/v）2（C＋iD）ξ~＝0，（12）式（12）中，定義H＝（v·/v＋A）/v,
P＝B/v,
M＝C/v2,
PT＝D/v2,式（12）可寫為ξ~″＋（H－iP）ξ~′－（M＋iPT）ξ~＝0 （13）式（13）為復攻角在s域的微分方程，將H，P，M，PT展開，并忽略氣動交叉項的影響，J＝Jy≈Jz，可得H（α2）＝ρS〖〗2m（cαy＋cα3yα2）－（cαz＋cα3zα2）〖〗2－mL2〖〗J（mωzz＋mωyy）〖〗2－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2，
M（α2）＝ρSL〖〗2J（mαz＋mα3zα2）＋（mβy＋mβ3yα2）〖〗2＋P0L〖〗mv2（mωzz＋mωyy）〖〗2－Jxωx〖〗mvL（cβy＋cβz）〖〗2,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T（α2）＝ρSLv〖〗4Jxωx（mαy＋mβz）＋ρS〖〗4m［（cαy＋cα3yα2）－（cαz＋cα3zα2）］＋P0〖〗mv2 反坦克導彈、炮彈和火箭彈為軸對稱旋轉飛行器，軸對稱旋轉飛行器是面對稱旋轉飛行器的特例。對于軸對稱旋轉飛行器，有a1＝b1，a2＝b2，a3＝b3，a4＝b4，〖〗a5＝b5，a6＝b6，復攻角在s域的微分方程也為ξ~″＋（H－iP）ξ~′－（M＋iPT）ξ~＝0,（14）式（14）中:H（α2）＝ρS〖〗2m（cαy＋cα3yα2）－mL2〖〗Jmωzz－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2,
M（α2）＝ρSL〖〗2J（mαz＋mα3zα2）＋P0L〖〗mv2mωzz－Jxωx〖〗mvLcβz,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T（α2）＝ρSLv〖〗2Jxωxmαy＋ρS〖〗2m（cαy＋cα3yα2）＋P0〖〗mv2 4旋轉飛行器運動穩定性判據
復攻角非線性微分方程（13）在實數域的攻角非線性微分方程組為α″f＋H（α2）α′f－M（α2）αf＋Pβ′f＋PT（α2）βf＝0,
β″f＋H（α2）β′f－M（α2）βf－Pα′f-PT（α2）αf＝0 （15）非線性微分方程組（15）是一個含有3個非線性函數，1個常數的四階微分方程組，判斷其解的穩定性十分困難［4］。應用李亞普諾夫第一近似理論，對于非線性微分方程組，如果其線性化微分方程組之特征方程的所有特征根均有負實部，則非線性微分方程組的原點漸進穩定［5］。所以，可通過線性化
微分方程組的穩定性來判斷非線性微分方程組的穩定性。非線性微分方程組（15）的線性化微分方程組為α″f＋Hα′f－Mαf＋Pβ′f＋PTβf＝0,
β″f＋Hβ′f－Mβf－Pα′f-PTαf＝0,（16）式（16）中:H＝ρS〖〗2m（cαy－cαz）〖〗2－mL2〖〗J（mωzz＋mωyy）〖〗2－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2,
M＝ρSL〖〗2J（mαz＋mβy）〖〗2＋P0L〖〗mv2（mωzz＋mωyy）〖〗2－Jxωx〖〗mvL（cβy＋cβz）〖〗2,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T＝ρSLv〖〗4Jxωx（mαy＋mβz）＋ρS〖〗4m（cαy－cαz）＋P0〖〗mv2
首先，通過數學變換（11），微分方程組（16）的系數時變性減弱了。其次，采用系數凍結法，在不長的彈道區間內，微分方程組（16）的系數可視為常數。所以，線性化微分方程組（16）可看作線性定常系統，其特征方程為λ4＋h1λ3＋h2λ2＋h3λ＋h4＝0,（17）式（17）中:h1＝2H；h2＝P2＋H2－2M；h3＝2（P2T－MH）；h4＝M2＋（PT）2。
由勞斯-霍爾維茨方法可知，特征方程（17）全部根的實部都為負值的充要條件是下列條件成立［6］：h1＞0，h2＞0，h3＞0，h4＞0,
h1h2-h3＞0,
h1h2-h3＞h21h4/h3 （18）根據條件（18)，代入hi關系式后，整理可得H＞0,
P2T－MH＞0,
（P2＋H2/P2）［H（P2T－MH）－（PT）2］＞0 （19）式（19）中，第二式由第一、第三式成立而自然滿足，與式（19）等價的條件變為H＞0,
H（P2T－MH）－（PT）2＞0 （20）式（20）中的第二式可化為0＜σ＝（2PT－PH）2〖〗H2（P2－4M）＜1 （21） 所以，面對稱旋轉飛行器運動穩定性判據為0＜σ＜1，由σ不僅可判斷是否滿足運動穩定性判據，而且能夠反映出穩定性的好壞，σ越小，穩定性越好［7］。同理，可得到軸對稱旋轉飛行器的運動穩定性判據也為0＜σ＝（2PT－PH）2〖〗H2（P2－4M）＜1,（22）式（22）中：
H＝ρS〖〗2mcαy－mL2〖〗Jmωzz－cx－2mgsin θ〖〗ρSv2＋4P0〖〗ρSv2，
M＝ρSL〖〗2Jmαz＋P0L〖〗mv2mωzz－Jxωx〖〗mvLcβz,
P＝Jx〖〗Jωx〖〗v,
T＝ρSLv〖〗2Jxωxmαy＋ρS〖〗2mcαy+P0〖〗mv2
5結束語
本文得到的旋轉飛行器非線性運動穩定性判據具有很強的通用性，對面對稱和軸對稱的旋轉飛行器都是適用的，不但適合于分析旋轉導彈和主動段火箭彈，也適合于分析炮彈和被動段火箭彈。
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